Parábola: PARÁBOLA

Ahora, vamos a deducir las ecuaciones de las secciones cónicas a partir de su definición como lugares geométricos y no como la intersección de un cono con un plano, como se hizo en la antigüedad. Ya conocemos que la gráfica de una función cuadrática

con $a \neq 0$ , es una parábola. Sin embargo, no toda parábola es la gráfica de una función, como podemos concluir de la siguiente definición.

	Definición
	Una parábola es el conjunto de puntos en el plano que equidistan de un punto fijo (llamado foco de la parábola) y de una recta fija (llamada la directriz de la parábola) que no contiene a (figura 1).

Figura 1.

El punto medio entre el foco y la directriz se llama vértice, la recta que pasa por el foco y por el vértice se llama eje de la parábola.Se puede observar en la figura 1 que una parábola es simétrica respecto a su eje.

Programa Interactivo

En este programa, puede arrastrar los puntos rojos con el mouse. La directriz es la línea azul y el foco es el punto con la etiqueta "F"

	Teorema (ecuación canónica de la parábola)
	La forma canónica de la ecuación de una parábola con vértice y directriz es $\begin{displaymath}{\left( x - h \right) }^2 = 4\,p\,\left( y - k \right)\end{displaymath}$

El eje de la parábola es vertical y el foco

está a $\vert p\vert$ unidades (orientadas) del vértice. Si

, la parábola abre hacia arriba y el foco está en

; si

, la parábola abre hacia abajo y el foco está en

Si la directriz es

(eje horizontal), la ecuación es

$\begin{displaymath}{\left( y - k \right) }^2 = 4\,p\,\left( x - h \right)\end{displaymath}$

El eje de la parábola es horizontal y el foco

está a $\vert p\vert$ unidades (orientadas) del vértice. Si

, la parábola abre hacia la derecha y el foco está en

; si

, la parábola abre hacia la izquierda y el foco está en

Observación : la demostración de este teorema no es difícil, basta aplicar la definición y la fórmula de distancia (figura 1).Para el caso en el cual el eje de la parábola es vertical, tenemos que

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} {\sqrt{{\left( x - h \right) }^2 + {\le... ...) }^2 & = & 4\,p\,\left( y - k \right) \\ & & \\ \end{array}\end{displaymath}$

Ejemplo 1.

Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es

$\begin{displaymath}y^2 - 6\,y - 4\,x + 17 = 0\end{displaymath}$

Solución

Para hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado en a. De la ecuación de la parábola tenemos que

$\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} y^2 - 6\,y + 9 - 9 - 4\,x + 17 & = & 0 \\... ...y - 3 \right) }^2 & = & 4\,\left( x - 2 \right) \\ \end{array}\end{displaymath}$

De donde obtenemos que

y el vértice

, por lo tanto, la parábola abre hacia la derecha y tiene el foco en

, la recta directriz es

. La gráfica se muestra en la figura 2.

Figura 2.

Ejemplo 2

Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica de la parábola con vértice en

y foco en

Solución

Dado que el vértice y el foco tienen igual abscisa el eje de la parábola es vertical, además abre hacia abajo y

, entonces la ecuación está dada por:

$\begin{displaymath}y - 4 = -4\,{\left( x + 2 \right) }^2 \end{displaymath}$

La directriz es

.La gráfica se muestra en la figura 3.

Figura 3.

Ejemplo 3

Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el punto

y recta directriz

Solución

Observe que en este caso la recta directriz no es vertical ni horizontal por lo que, el teorema no nos ayuda en nada y debemos recurrir a la definición misma. Como el eje de la parábola es ortogonal a la directriz y debe pasar por el vértice entonces debe tener ecuación

. Para hallar el valor de

debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales y calcular la distancia al vértice.

$\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} x+y & = & 1 \\ & & \\ y& = & x \\ \end{array}\end{displaymath}$

Puesto que la solución es $\displaystyle{\left(1/2, 1/2\right)}$ , entonces $\,p=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}\,$ y el foco sería $\,F=\displaystyle{\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)}$

Para hallar la ecuación de la parábola suponga que el punto

esta sobre ella, entonces para poder calcular la distancia de este punto a la directriz debemos hallar la recta que pasa por este punto y es paralela al eje de la parábola. Dicha recta tienen ecuación

$\begin{displaymath}y=x+b-a\end{displaymath}$

Ahora debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales con la idea de calcular la distancia que buscamos

$\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} y & = & x+b-a \\ & & \\ y& = & x \\ \end{array}\end{displaymath}$

La solución de este sistema es

$\begin{displaymath}Q = \left( \frac{1 + a - b}{2}, \frac{1 - a + b}{2}\right)\end{displaymath}$

con lo cual la ecuación de la parábola es

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} d(F, P) & = & d(P, Q) \\ & & \\ d(\d... ...2} \\ & & \\ x^2 - 2\,x\,y + y^2 - 4 & = & 0\\ \end{array}\end{displaymath}$

Figura 4.

Propiedades de la parábola

Una de las propiedades geométricas de la parábola más utilizada fue descubierta por los griegos : un rayo, por ejemplo, de luz, que emane del foco, se refleja en la parábola a lo largo de una trayectoria paralela al eje de la parábola, sin importar cual sea el punto de reflexión.O recíprocamente, un rayo paralelo al eje de la parábola y reflejado en ella pasa por el foco.Este hecho es útil en la construcción de linternas, faros automotrices y faros buscadores, en los cuales el reflector tiene una sección transversal parabólica y la fuente luminosa esta en el foco.Igualmente, en los telescopios y receptores de radar, las señales de una fuente remota entran paralelas al eje y se reflejan pasando por el foco, mediante un reflector parabólico.La potente concentración que produce un reflector parabólico grande, como el de un radiotelescopio, hace posible detectar y analizar señales luminosas muy pequeñas.

	Teorema (propiedad de reflexión)
	La tangente a una parábola en un punto forma ángulos iguales con : $\bullet\;$ La recta que pasa por y por el foco (ángulo de reflexión). $\bullet\;$ La recta que pasa por y es paralela al eje de la parábola (ángulo de incidencia).